Главная
Пространство ограниченных последовательностей — метрическое пространство. Каждый его элемент определяется как бесконечная последовательность чисел x = { x n } i = 1 ∞ {displaystyle x={x_{n}}_{i=1}^{infty }} , каждый член которой ограничен по модулю: | x i | ⩽ K i {displaystyle |x_{i}|leqslant K_{i}} , i = 1 , . . . ∞ {displaystyle i=1,...infty } , где K i {displaystyle K_{i}} , i = 1 , . . . ∞ {displaystyle i=1,...infty } - константы, и в котором определено расстояние ρ ( x , y ) {displaystyle ho (x,y)} между любыми двумя точками x , y {displaystyle x,y} , как: ρ ( x , y ) = sup i | x i − y i | {displaystyle ho (x,y)=sup _{i}|x_{i}-y_{i}|} , i = 1 , . . . ∞ {displaystyle i=1,...infty } , где sup {displaystyle sup } - точная верхняя граница.
Для пространства ограниченных последовательностей приняты стандартные обозначения m {displaystyle m} или ℓ ∞ {displaystyle ell _{infty }} .
Пространство m {displaystyle m} не является сепарабельным и является полным.
При определении нормы в m {displaystyle m} как:
‖ x ‖ = sup i | x i | {displaystyle left|x ight|=sup _{i}|x_{i}|} , i = 1 , . . . ∞ {displaystyle i=1,...infty }оно становится линейным нормированным пространством.
Примеры:
- бесконечные последовательности чисел вида x = { x n } i = 1 ∞ {displaystyle x={x_{n}}_{i=1}^{infty }} , таких, что | x i | ⩽ 1 {displaystyle |x_{i}|leqslant 1} , i = 1 , . . . ∞ {displaystyle i=1,...infty }
- бесконечные последовательности чисел вида x = { x n } i = 1 ∞ {displaystyle x={x_{n}}_{i=1}^{infty }} , таких, что | x i | ⩽ 1 i {displaystyle |x_{i}|leqslant {frac {1}{i}}} , i = 1 , . . . ∞ {displaystyle i=1,...infty }