Непрерывная функция

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения. Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение

Пусть D ⊂ R {displaystyle Dsubset mathbb {R} } и f : D → R {displaystyle f:D o mathbb {R} } . Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке x 0 ∈ D {displaystyle x_{0}in D} .

• Определение через предел: функция f {displaystyle f} непрерывна в точке x 0 {displaystyle x_{0}} , предельной для множества D {displaystyle D} , если f {displaystyle f} имеет предел в точке x 0 {displaystyle x_{0}} , и этот предел совпадает со значением функции f ( x 0 ) {displaystyle f(x_{0})} : lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) {displaystyle lim _{x o x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
• Определение, использующее ε-δ-формализм: функция f {displaystyle f} непрерывна в точке x 0 ∈ D {displaystyle x_{0}in D} , если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует δ > 0 {displaystyle delta >0} такое, что для любого x ∈ D {displaystyle xin D} , | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε . {displaystyle |x-x_{0}|<delta Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<varepsilon .}

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента x {displaystyle x} удовлетворять условию 0 < | x − a | {displaystyle 0<leftvert x-a ightvert } , т.е. быть отличными от а.

• Определение, использующее o-нотацию: функция f {displaystyle f} непрерывна в точке x 0 {displaystyle x_{0}} , если f ( x 0 + δ ) = f ( x 0 ) + o ( 1 ) {displaystyle f(x_{0}+delta )=f(x_{0})+o(1)} , при δ → 0 {displaystyle delta o 0} .
• Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция f {displaystyle f} непрерывна на множестве E {displaystyle E} , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f {displaystyle f} класса C 0 {displaystyle C^{0}} и пишут: f ∈ C 0 ( E ) {displaystyle fin C^{0}(E)} или, подробнее, f ∈ C 0 ( E , R ) {displaystyle fin C^{0}(E,mathbb {R} )} .

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если A {displaystyle A} — значение функции f {displaystyle f} в точке a {displaystyle a} , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с A {displaystyle A} . На языке окрестностей условие разрывности функции f {displaystyle f} в точке a {displaystyle a} получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки A {displaystyle A} области значений функции f {displaystyle f} , что как бы мы близко не подходили к точке a {displaystyle a} области определения функции f {displaystyle f} , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки A {displaystyle A} .

Классификация точек разрыва в R¹

Классификация разрывов функций f : X → Y {displaystyle f:X o Y} зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — f : R → R {displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} } . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в R {displaystyle mathbb {R} } различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

• Устранимый разрыв

• Разрыв типа «скачок»

• Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».

• Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

lim x → a f ( x ) ≠ f ( a ) {displaystyle lim limits _{x o a}f(x) eq f(a)} ,

то точка a {displaystyle a} называется точкой устранимого разрыва функции f {displaystyle f} (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию f {displaystyle f} в точке устранимого разрыва и положить f ( a ) = lim x → a f ( x ) {displaystyle f(a)=lim limits _{x o a}f(x)} , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»

Разрыв «скачок» возникает, если

lim x → a − 0 f ( x ) ≠ lim x → a + 0 f ( x ) {displaystyle lim limits _{x o a-0}f(x) eq lim limits _{x o a+0}f(x)} .

Точка разрыва «полюс»

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

lim x → a − 0 f ( x ) = ± ∞ {displaystyle lim limits _{x o a-0}f(x)=pm infty } или lim x → a + 0 f ( x ) = ± ∞ {displaystyle lim limits _{x o a+0}f(x)=pm infty } .

Точка существенного разрыва

В точке существенного разрыва один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rn, n>1

Для функций f : R n → R n {displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} и f : C → C {displaystyle f:mathbb {C} o mathbb {C} } нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

• Если ∃ lim x → a f ( x ) {displaystyle exists lim limits _{x o a}f(x)} , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
• Полюс определяется как lim x → a f ( x ) = ∞ {displaystyle lim limits _{x o a}f(x)=infty } . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что f ( x ) → ∞ {displaystyle f(x) o infty } , каким путём бы он ни рос.
• Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в R {displaystyle mathbb {R} } считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке a {displaystyle a} , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция f {displaystyle f} непрерывна в точке a {displaystyle a} и f ( a ) > 0 {displaystyle f(a)>0} (или f ( a ) < 0 {displaystyle f(a)<0} ), то f ( x ) > 0 {displaystyle f(x)>0} (или f ( x ) < 0 {displaystyle f(x)<0} ) для всех x {displaystyle x} , достаточно близких к a {displaystyle a} .
• Если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} непрерывны в точке a {displaystyle a} , то функции f + g {displaystyle f+g} и f ⋅ g {displaystyle fcdot g} тоже непрерывны в точке a {displaystyle a} .
• Если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} непрерывны в точке a {displaystyle a} и при этом g ( a ) ≠ 0 {displaystyle g(a) eq 0} , то функция f / g {displaystyle f/g} тоже непрерывна в точке a {displaystyle a} .
• Если функция f {displaystyle f} непрерывна в точке a {displaystyle a} и функция g {displaystyle g} непрерывна в точке b = f ( a ) {displaystyle b=f(a)} , то их композиция h = g ∘ f {displaystyle h=gcirc f} непрерывна в точке a {displaystyle a} .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции f {displaystyle f} , непрерывной на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , является отрезок [ min f ,   max f ] , {displaystyle [min f, max f],} где минимум и максимум берутся по отрезку [ a , b ] {displaystyle [a,b]} .
• Если функция f {displaystyle f} непрерывна на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} и f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 , {displaystyle f(a)cdot f(b)<0,} то существует точка ξ ∈ ( a , b ) , {displaystyle xi in (a,b),} в которой f ( ξ ) = 0 {displaystyle f(xi )=0} .
• Если функция f {displaystyle f} непрерывна на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} и число φ {displaystyle varphi } удовлетворяет неравенству f ( a ) < φ < f ( b ) {displaystyle f(a)<varphi <f(b)} или неравенству f ( a ) > φ > f ( b ) , {displaystyle f(a)>varphi >f(b),} то существует точка ξ ∈ ( a , b ) , {displaystyle xi in (a,b),} в которой f ( ξ ) = φ {displaystyle f(xi )=varphi } .
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами f ( a ) {displaystyle f(a)} и f ( b ) {displaystyle f(b)} .
• Если функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} непрерывны на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , причем f ( a ) < g ( a ) {displaystyle f(a)<g(a)} и f ( b ) > g ( b ) , {displaystyle f(b)>g(b),} то существует точка ξ ∈ ( a , b ) , {displaystyle xi in (a,b),} в которой f ( ξ ) = g ( ξ ) . {displaystyle f(xi )=g(xi ).} Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция f : R → R , {displaystyle fcolon mathbb {R} o mathbb {R} ,} задаваемая формулой

f ( x ) = { sin ⁡ x x , x ≠ 0 0 , x = 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {sin x}{x}},&x eq 0,&x=0end{cases}}}

непрерывна в любой точке x ≠ 0. {displaystyle x eq 0.} Точка x = 0 {displaystyle x=0} является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 ≠ f ( 0 ) . {displaystyle lim limits _{x o 0}f(x)=lim limits _{x o 0}{frac {sin x}{x}}=1 eq f(0).}

Функция знака

Функция

f ( x ) = sgn ⁡ x = { − 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0 , x ∈ R {displaystyle f(x)=operatorname {sgn} x={egin{cases}-1,&x<0,&x=01,&x>0end{cases}},quad xin mathbb {R} }

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке x ≠ 0 {displaystyle x eq 0} .

Точка x = 0 {displaystyle x=0} является точкой разрыва первого рода, причём

lim x → 0 − f ( x ) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f ( x ) {displaystyle lim limits _{x o 0-}f(x)=-1 eq 1=lim limits _{x o 0+}f(x)} ,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

f ( x ) = { 1 , x ⩾ 0 0 , x < 0 , x ∈ R {displaystyle f(x)={egin{cases}1,&xgeqslant 0,&x<0end{cases}},quad xin mathbb {R} }

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0 {displaystyle x=0} , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 {displaystyle x=0} существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

f ( x ) = { 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R {displaystyle f(x)={egin{cases}1,&x>0,&xleqslant 0end{cases}},quad xin mathbb {R} }

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

f ( x ) = { 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q {displaystyle f(x)={egin{cases}1,&xin mathbb {Q} ,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}}

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

f ( x ) = { 1 n , x = m n ∈ Q ,   НОД ( m , n ) = 1 0 , x ∈ R ∖ Q {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {1}{n}},&x={frac {m}{n}}in mathbb {Q} , { ext{НОД}}(m,n)=1,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}}

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел ( R ∖ Q {displaystyle mathbb {R} setminus mathbb {Q} } ), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность x k = m k / n k → x ∉ Q {displaystyle x_{k}=m_{k}/n_{k} o x otin mathbb {Q} } , то с необходимостью n k → ∞ {displaystyle n_{k} o infty } ). Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция f {displaystyle f} называется равномерно непрерывной на E {displaystyle E} , если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует δ > 0 {displaystyle delta >0} такое, что для любых двух точек x 1 {displaystyle x_{1}} и x 2 {displaystyle x_{2}} таких, что | x 1 − x 2 | < δ {displaystyle |x_{1}-x_{2}|<delta } , выполняется | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | < ε {displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<varepsilon } .

Каждая равномерно непрерывная на множестве E {displaystyle E} функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция f {displaystyle f} называется полунепрерывной снизу в точке a {displaystyle a} , если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует такая окрестность U E ( a ) {displaystyle U_{E}(a)} , что f ( x ) > f ( a ) − ε {displaystyle f(x)>f(a)-varepsilon } для всякого x ∈ U E ( a ) {displaystyle xin U_{E}(a)} ;
• функция f {displaystyle f} называется полунепрерывной сверху в точке a {displaystyle a} , если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует такая окрестность U E ( a ) {displaystyle U_{E}(a)} , что f ( x ) < f ( a ) + ε {displaystyle f(x)<f(a)+varepsilon } для всякого x ∈ U E ( a ) {displaystyle xin U_{E}(a)} .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию f {displaystyle f} , непрерывную в точке a {displaystyle a} , и уменьшить значение f ( a ) {displaystyle f(a)} (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a {displaystyle a} ;
• если взять функцию f {displaystyle f} , непрерывную в точке a {displaystyle a} , и увеличить значение f ( a ) {displaystyle f(a)} (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a {displaystyle a} .

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если f ( a ) = − ∞ {displaystyle f(a)=-infty } , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a {displaystyle a} ;
• если f ( a ) = + ∞ {displaystyle f(a)=+infty } , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a {displaystyle a} .

Односторонняя непрерывность

Функция f {displaystyle f} называется непрерывной слева (справа) в точке x 0 {displaystyle x_{0}} её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: f ( x 0 ) = lim x → x 0 − f ( x ) {displaystyle f(x_{0})=lim limits _{x o x_{0}-}f(x)} ( f ( x 0 ) = lim x → x 0 + f ( x ) ) . {displaystyle (f(x_{0})=lim limits _{x o x_{0}+}f(x)).}

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f {displaystyle f} такова, что она непрерывна всюду на E {displaystyle E} , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).