Главная
Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммы особого вида, которые могут использоваться при доказательстве теорем аналитической теории чисел
Определение
Рациональными тригонометрическими суммами называются суммы вида S φ ( q ) = ∑ x = 1 q e 2 π i φ ( x ) q {displaystyle {S_{varphi }}(q)=sum limits _{x=1}^{q}{e^{2pi i{frac {varphi (x)}{q}}}}} , где φ ( x ) = ∑ k = 0 n a k x k {displaystyle varphi (x)=sum limits _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}} — многочлен с целыми коэффициентами, причём ( a 0 , … , a n , q ) = 1 {displaystyle (a_{0},dots ,a_{n},q)=1} (при нетривиальном наибольшем общем делителе дробь можно сократить и привести к общему виду).
Некоторые оценки
При оценке рациональных тригонометрических сумм в математике рассматривают, как правило, верхнюю оценку на модуль суммы, так как его значительно проще оценивать. В связи с этим принимается, что a 0 = 0 {displaystyle a_{0}=0} , так умножение такой суммы на e 2 π i a 0 {displaystyle e^{2pi ia_{0}}} не изменяет её абсолютной величины.
Частные случаи
Линейные суммы
Если φ ( x ) = a x {displaystyle varphi (x)=ax} , то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать, что S φ ( q ) = q [ q ∣ a ] {displaystyle {S_{varphi }}(q)=q[{qmid a}]} . Доказательство этого факта тривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целому основанию нулевая. Такие суммы называются линейными.
Суммы Гаусса (квадратичные)
Рациональные тригонометрические суммы над многочленами вида φ ( x ) = a x 2 {displaystyle varphi (x)=ax^{2}} называются суммами Гаусса.
Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно
| S φ ( q ) | = { q , q ≡ 1 mod 2 2 q , q ≡ 0 mod 4 0 , q ≡ 2 mod 4 {displaystyle |{S_{varphi }}(q)|={egin{cases}{sqrt {q}},&qequiv 1mod 2{sqrt {2q}},&qequiv 0mod 4 ,&qequiv 2mod 4end{cases}}}Общие оценки
Далее для удобства изложения примем n = deg φ {displaystyle n=deg varphi } .
Хуа вывел оценку | S φ ( q ) | < c ( n ) q 1 − 1 n {displaystyle |{S_{varphi }}(q)|<c(n)q^{1-{frac {1}{n}}}} , где c ( n ) {displaystyle c(n)} — константа, зависящая только от n {displaystyle n} . То есть | S φ ( q ) | = O ( q 1 − 1 n ) {displaystyle |{S_{varphi }}(q)|=O(q^{1-{frac {1}{n}}})} при фиксированном n {displaystyle n} .
Если φ ( x ) = a x n {displaystyle varphi (x)=ax^{n}} , то при простом q > 2 {displaystyle q>2} верна более точная оценка | S φ ( q ) | ≤ ( n − 1 ) q {displaystyle |{S_{varphi }}(q)|leq (n-1){sqrt {q}}} .
Частичные линейные суммы
Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для φ ( x ) = a x q {displaystyle varphi (x)={frac {ax}{q}}} выполнено
| ∑ x = 1 m e 2 π i φ ( x ) | = | e 2 π i a q − e 2 π i a ( m + 1 ) q 1 − e 2 π i a q | ≤ 2 min ( { a q } , 1 − { a q } ) {displaystyle leftvert {sum limits _{x=1}^{m}{e^{2pi ivarphi (x)}}} ightvert =leftvert {frac {e^{2pi i{frac {a}{q}}}-e^{2pi i{frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{2pi i{frac {a}{q}}}}} ightvert leq {frac {2}{min left({leftlbrace {frac {a}{q}} ight brace ,1-leftlbrace {frac {a}{q}} ight brace } ight)}}} ,
где { x } {displaystyle leftlbrace {x} ight brace } означает дробную часть числа x {displaystyle x} .
Невозможность некоторых нетривиальных оценок
А. А. Карацуба доказал, что при n > ( 1 2 log 2 − ε ) p log p , φ ( x ) = a x n {displaystyle n>left({{frac {1}{2log {2}}}-varepsilon } ight){frac {p}{log {p}}}, varphi (x)=ax^{n}} существует бесконечно много простых p {displaystyle p} , для которых | S ϕ ( p ) | > ( 1 − δ ( ε ) ) p {displaystyle |S_{phi }(p)|>left({1-delta (varepsilon )} ight)p} , где δ ( ε ) → 0 {displaystyle delta (varepsilon ) o 0} при ε → 0 {displaystyle varepsilon o 0} , то есть при таких n {displaystyle n} для соответствующих тригонометрических сумм невозможны оценки сверху, необходимые для большинства приложений.
Применение
В первом доказательстве квадратичного закона взаимности (Гаусс, 1795) использовались суммы Гаусса над многочленом вида φ ( x ) = a x 2 q {displaystyle varphi (x)={frac {ax^{2}}{q}}} .
Виноградов с помощью рациональных тригонометрических сумм вывел приближённое описание распределения квадратичных вычетов и невычетов.
Рассматриваемые суммы могут также находить применение при доказательстве проблемы Варинга методами аналитической теории чисел.
История
Тригонометрические суммы впервые применил Гаусс в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности.