Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика





         » » Категория Бэра

Категория Бэра



Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Названа в честь французского математика Рене-Луи Бэра.

Определения

  • Топологические пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, относятся к пространствам первой категории Бэра, не допускающие такого покрытия — к пространствам второй категории Бэра.
  • Подмножество топологического пространства X {displaystyle X} , которое можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных в X {displaystyle X} множеств, называется множеством первой категории Бэра в пространстве X {displaystyle X} .
  • Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории Бэра в пространстве X {displaystyle X} .
  • Топологическое пространство, в котором любое множество первой категории не содержит внутренних точек, называется пространством Бэра.

Свойства

Для целей анализа удобно, когда рассматриваемое пространство относится ко второй категории Бэра, так как отнесение к этой категории равносильно справедливости теорем существования, таких как:

  • Если пространство второй категории Бэра покрыто счётным семейством замкнутых множеств, то хотя бы одно из них имеет внутреннюю точку (теорема существования внутренней точки).
  • В пространстве второй категории Бэра всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств имеет непустое пересечение (теорема существования общей точки).
  • Если всё-таки пространство относится к первой категории Бэра, из этого можно получить лишь результаты отрицательного характера — например, всякая метрика на этом пространстве, совместимая с топологией, неполна, а замыкание любого (непустого) открытого подмножества некомпактно. По этой причине, например, пространство многочленов неполно в любой метрике, в которой оно является топологическим векторным пространством (счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра).

    Применение категорий Бэра к подмножествам заданного топологического пространства имеет смысл, если объемлющее пространство относится ко второй категории Бэра (иначе все подмножества будут первой категории в данном пространстве). Грубо говоря, множества первой категории считаются «маленькими» («тощими»), а второй — «большими» («тучными»).

    В этом смысле понятие категории напоминает понятие меры, однако в отличие от меры, категория подмножества зависит только от топологии объемлющего пространства.

    Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры. Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные выпуклые подмножества евклидова пространства».

    Теорема Бэра

    Теорема. Полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства относятся к пространствам второй категории Бэра.

    Для доказательства достаточно показать, что всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств G k ( k = 1 , 2 , … ) {displaystyle G_{k};(k=1,;2,;ldots )} имеет непустое пересечение.

    В случае полного метрического пространства индуктивно строится последовательность шаров B k {displaystyle B_{k}} такая, что при каждом k {displaystyle k} B ¯ k + 1 ⊂ B k ∩ G k {displaystyle {ar {B}}_{k+1}subset B_{k}cap G_{k}} и радиус шара B k {displaystyle B_{k}} был бы меньше, чем 2 − k {displaystyle 2^{-k}} . Последовательность стягивающихся замкнутых шаров имеет непустое пересечение в силу полноты пространства, и общая точка этих шаров будет общей и для множеств G k {displaystyle G_{k}} .

    В случае локально компактного хаусдорфова пространства индуктивно строится последовательность открытых множеств B k {displaystyle B_{k}} такая, что при каждом k {displaystyle k} B ¯ k + 1 ⊂ B k ∩ G k {displaystyle {ar {B}}_{k+1}subset B_{k}cap G_{k}} и замыкание множества B k {displaystyle B_{k}} компактно. Тогда последовательность множеств B ¯ k {displaystyle {ar {B}}_{k}} образует центрированную систему замкнутых подмножеств в компактном хаусдорфовом пространстве B ¯ 1 {displaystyle {ar {B}}_{1}} и потому имеет непустое пересечение.

    Пример. В качестве приложения категорий Бэра, можно показать, что множество иррациональных точек R ∖ Q {displaystyle mathbb {R} setminus mathbb {Q} } не может быть множеством всех точек разрыва никакой функции на числовой прямой. Множество всех точек разрыва любой функции f {displaystyle f} на R {displaystyle mathbb {R} } является счётным объединением замкнутых множеств E n {displaystyle E_{n}} , состоящих из тех точек, в которых колебание функции f {displaystyle f} не меньше, чем 1 / n {displaystyle 1/n} . Если бы искомая функция существовала, множества E n {displaystyle E_{n}} были бы нигде не плотными, так как их объединение не имеет внутренних точек. Из этого получалось бы, что множество R ∖ Q {displaystyle mathbb {R} setminus mathbb {Q} } первой категории в R {displaystyle mathbb {R} } , а так как его дополнение тоже имеет первую категорию, то и всё пространство R {displaystyle mathbb {R} } было бы первой категории, что противоречит его полноте.