Гипотезы Вейля

Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.

Гипотезы Вейля утверждают, что локальные дзета-функции должны быть рациональны, удовлетворять функциональному уравнению, а их нули лежать на критических прямых. Последние 2 гипотезы аналогичны гипотезе Римана для дзета-функции Римана.

Гипотезы в общем виде были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году, рациональность была доказана Бернардом Дворком в 1960 году, функциональное уравнение — Александром Гротендиком в 1965 году, аналог гипотезы Римана — Пьером Делинем в 1974 году.

Формулировка гипотез Вейля

Пусть X {displaystyle X} — неособое n {displaystyle n} -мерное проективное алгебраическое многообразие над конечным полем F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} . Его конгруэнц-дзета-функция определяется как

Z ( X , T ) = exp ⁡ ( ∑ k = 1 ∞ N k k T k ) , {displaystyle Z(X,;T)=exp left(sum limits _{k=1}^{infty }{frac {N_{k}}{k}}T^{k} ight),}

где N k {displaystyle N_{k}} — число точек X {displaystyle X} над m {displaystyle m} -мерным расширением F q m {displaystyle mathbb {F} _{q^{m}}} поля F q {displaystyle mathbb {F} _{q}} . Локальная дзета-функция ζ ( X , s ) = Z ( X , q − s ) {displaystyle zeta (X,;s)=Z(X,;q^{-s})} .

Гипотезы Вейля утверждают следующее:

1. (Рациональность) Z ( X , T ) {displaystyle Z(X,;T)} является рациональной функцией T {displaystyle T} . Точнее, Z ( X , T ) {displaystyle Z(X,;T)} может быть представлено в виде конечного произведения

Z ( X , T ) = ∏ i = 0 2 n P i ( T ) ( − 1 ) i + 1 = P 1 ( T ) ⋅ … ⋅ P 2 n − 1 ( T ) P 0 ( T ) ⋅ … ⋅ P 2 n ( T ) , {displaystyle Z(X,T)=prod limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}={frac {P_{1}(T)cdot ldots cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)cdot ldots cdot P_{2n}(T)}},}

где каждый P i ( T ) {displaystyle P_{i}(T)} — многочлен с целыми коэффициентами. Причем P 0 ( T ) = 1 − T , P 2 n ( T ) = 1 − q n T {displaystyle P_{0}(T)=1-T,;P_{2n}(T)=1-q^{n}T} , а для всех i : 1 ⩽ i ⩽ 2 n − 1 {displaystyle icolon 1leqslant ileqslant 2n-1} P i ( T ) = ∏ j ( 1 − α i j T ) {displaystyle P_{i}(T)=prod limits _{j}(1-alpha _{ij}T)} над C {displaystyle mathbb {C} } , а α i j {displaystyle alpha _{ij}} — некоторые целые алгебраические числа.

2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет соотношению

ζ ( X , n − s ) = ± q n E 2 − E s ζ ( X , s ) {displaystyle zeta (X,;n-s)=pm q^{{frac {nE}{2}}-Es}zeta (X,;s)}

или эквивалентно

Z ( X , 1 q n T ) = ± q n E / 2 T E Z ( X , T ) , {displaystyle Zleft(X,;{frac {1}{q^{n}T}} ight)=pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,;T),}

где E {displaystyle E} — эйлерова характеристика X {displaystyle X} (индекс самопересечения диагонали Δ ( X ) {displaystyle Delta (X)} в X × X {displaystyle X imes X} ).

3. (Гипотеза Римана) для всех i , j {displaystyle i,;j} | α i | = q i / 2 {displaystyle |alpha _{i}|=q^{i/2}} . Отсюда следует, что все нули P k ( q − s ) {displaystyle P_{k}(q^{-s})} лежат на «критической прямой» Re ⁡ s = k / 2 {displaystyle operatorname {Re} s=k/2} .

4. (Числа Бетти) Если X {displaystyle X} является хорошей редукцией по модулю p {displaystyle p} неособого проективного многообразия Y {displaystyle Y} , определённым над некоторым числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень deg ⁡ P i = β i ( Y ) {displaystyle deg P_{i}=eta _{i}(Y)} , где β i {displaystyle eta _{i}} — число Бетти пространства комплексных точек Y {displaystyle Y} .