Фильтр Ходрика — Прескотта

Фильтр Ходрика-Прескотта — метод сглаживания временных рядов в целях устранения их них циклической компоненты и выделения трендовой составляющей. Фильтр активно используется в макроэкономических исследованиях экономических циклов.

Определение

Математически фильтр Ходрика-Прескотта записывается как задача минимизации следующей функции потерь.

min g ( ∑ t = 1 T ( y t − g t ) 2 + λ ∑ t = 2 T − 1 [ ( g t + 1 − g t ) − ( g t − g t − 1 ) ] 2 ) . {displaystyle min _{g}left(sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-g_{t})^{2}}+lambda sum _{t=2}^{T-1}{[(g_{t+1}-g_{t})-(g_{t}-g_{t-1})]^{2}} ight).,}

где y t {displaystyle y_{t}} – наблюдаемые данные; g t {displaystyle g_{t}} – трендовая компонента.

Если λ = 0 {displaystyle lambda =0} , то решением являются y t , t = 1 , 2 , . . . T {displaystyle y_{t},t=1,2,...T} . Если λ → ∞ {displaystyle lambda o infty } , то формула дает линейный тренд. Выбор оптимального значения параметра λ {displaystyle lambda } является самостоятельной задачей. В оригинальной статье Ходрика и Прескотта рекомендовано значение 1600 для квартальных данных.