Кривая роста (спектроскопия)

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины W {displaystyle W} спектральной линии поглощения от количества атомов N {displaystyle N} , которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых N {displaystyle N} оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально W ∝ N {displaystyle Wpropto N} — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом N {displaystyle N} оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, W ∝ ln ⁡ N {displaystyle Wpropto {sqrt {ln N}}} . При ещё большем N {displaystyle N} начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней W ∝ N {displaystyle Wpropto {sqrt {N}}} .

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

Описание

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины W {displaystyle W} спектральной линии поглощения от количества атомов N {displaystyle N} , которые поглощают излучение в этой линии.

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии.

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания N {displaystyle N} : линейную, где W ∝ N {displaystyle Wpropto N} ; пологую, или переходную, в которой W ∝ ln ⁡ N {displaystyle Wpropto {sqrt {ln N}}} ; и область затухания излучения, где W ∝ N {displaystyle Wpropto {sqrt {N}}} .

• Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 1012 атомов на см2 для линии наименьшей глубины до 1020 атомов на см2 для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.

• Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии b d {displaystyle b_{d}} , связанной с половинной полушириной g {displaystyle g} гауссовского профиля линии (см. ниже) как b d = g / ln ⁡ 2 {displaystyle b_{d}=g/{sqrt {ln 2}}} .

Теория

Эквивалентная ширина

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины W {displaystyle W} : это размер области в длинах волн ( W λ {displaystyle W_{lambda }} ) или в частотах ( W ν {displaystyle W_{ u }} ), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии.

Более строго W {displaystyle W} определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте ν {displaystyle u } обозначается как I ν {displaystyle I_{ u }} , а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — I ν 0 {displaystyle I_{ u }^{0}} : для нахождения I ν 0 {displaystyle I_{ u }^{0}} проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала. Вводится параметр a ν = 1 − I ν / I ν 0 {displaystyle a_{ u }=1-I_{ u }/I_{ u }^{0}} , называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте ν {displaystyle u } , которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением W ν = ∫ ν 1 ν 2 a ν d ν { extstyle W_{ u }=int _{ u _{1}}^{ u _{2}}a_{ u }d u } или W λ = ∫ λ 1 λ 2 a λ d λ { extstyle W_{lambda }=int _{lambda _{1}}^{lambda _{2}}a_{lambda }dlambda } — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от 0 {displaystyle 0} до ∞ {displaystyle infty } , но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров. В то же время a ν {displaystyle a_{ u }} связана с оптической толщиной поглощающего слоя τ ν {displaystyle au _{ u }} на частоте ν {displaystyle u } как a ν = 1 − e − τ ν {displaystyle a_{ u }=1-e^{- au _{ u }}} , а τ ν {displaystyle au _{ u }} прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения N {displaystyle N} .

Поведение при малой оптической толщине

В любом случае, когда N {displaystyle N} мало, то мала и τ ν {displaystyle au _{ u }} во всех частях линии. Тогда a ν = 1 − e − τ ν {displaystyle a_{ u }=1-e^{- au _{ u }}} возрастает практически линейно с ростом τ ν {displaystyle au _{ u }} , и, следовательно, W ∝ N {displaystyle Wpropto N} . Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост a ν {displaystyle a_{ u }} в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии τ 0 {displaystyle au _{0}} по порядку величины меньше единицы. Увеличение W {displaystyle W} замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — τ ν {displaystyle au _{ u }} ещё невелико. Связь между W {displaystyle W} и N {displaystyle N} для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии.

Поведение при большой оптической толщине

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению τ ν {displaystyle au _{ u }} (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот.

Гауссовский профиль

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид:

τ ( x ) = τ 0 exp ⁡ ( − x 2 ln ⁡ 2 g 2 ) , {displaystyle au (x)= au _{0}exp left(-{frac {x^{2}ln 2}{g^{2}}} ight),}

где τ 0 {displaystyle au _{0}} — оптическая толщина в центре линии, g {displaystyle g} — половинная полуширина линии, x {displaystyle x} — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену u = x ln ⁡ 2 g { extstyle u={frac {x{sqrt {ln 2}}}{g}}} , тогда u {displaystyle u} — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной g / ln ⁡ 2 {displaystyle g/{sqrt {ln 2}}} . Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так:

W = 2 g ln ⁡ 2 ∫ 0 ∞ ( 1 − exp ⁡ [ − τ 0 e − u 2 ] ) d u {displaystyle W={frac {2g}{sqrt {ln 2}}}int _{0}^{infty }left(1-exp left[- au _{0}e^{-u^{2}} ight] ight)du}

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших τ 0 {displaystyle au _{0}} , соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших u {displaystyle u} и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» u {displaystyle u} можно взять значение u 0 {displaystyle u_{0}} , при котором τ 0 e − u 0 2 = 1 {displaystyle au _{0}e^{-u_{0}^{2}}=1} . Это условие выполняется при u 0 = ln ⁡ τ 0 {displaystyle u_{0}={sqrt {ln au _{0}}}} , так что W {displaystyle W} с хорошей точностью оказывается пропорционально ln ⁡ τ 0 {displaystyle {sqrt {ln au _{0}}}} , а значит, W ∝ ln ⁡ N {displaystyle Wpropto {sqrt {ln N}}} . Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результату.

Лоренцевский профиль

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде:

τ ( x ) = τ 0 l 2 l 2 + x 2 , {displaystyle au (x)= au _{0}{frac {l^{2}}{l^{2}+x^{2}}},}

где τ 0 {displaystyle au _{0}} — оптическая толщина в центре линии, l {displaystyle l} — половинная полуширина линии, x {displaystyle x} — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена y = x / l { extstyle y=x/l} , тогда y {displaystyle y} — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид:

W = 2 l ∫ 0 ∞ ( 1 − exp ⁡ [ − τ 0 y 2 + 1 ] ) d y {displaystyle W=2lint _{0}^{infty }left(1-exp left[-{frac { au _{0}}{y^{2}+1}} ight] ight)dy}

При достаточно больших τ 0 {displaystyle au _{0}} центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как y − 2 {displaystyle y^{-2}} . Тогда ширина приближённо выражается:

W = 2 l ∫ 0 ∞ ( 1 − exp ⁡ [ − τ 0 y 2 ] ) d y {displaystyle W=2lint _{0}^{infty }left(1-exp left[-{frac { au _{0}}{y^{2}}} ight] ight)dy}

Если сделать замену z 2 = τ 0 / u 2 { extstyle z^{2}= au _{0}/u^{2}} :

W = 2 l τ 0 ∫ 0 ∞ ( 1 − exp ⁡ [ − z 2 ] ) d ( 1 / z ) {displaystyle W=2l{sqrt { au _{0}}}int _{0}^{infty }left(1-exp left[-z^{2} ight] ight)d(1/z)}

Таким образом, для лоренцевского профиля W {displaystyle W} растёт пропорционально τ 0 {displaystyle {sqrt { au _{0}}}} , а значит, W ∝ N {displaystyle Wpropto {sqrt {N}}} .

Фойгтовский профиль

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевским.

Таким образом, при достаточно больших значениях N {displaystyle N} оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост W {displaystyle W} происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально ln ⁡ N {displaystyle {sqrt {ln N}}} . При очень больших N {displaystyle N} дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и W {displaystyle W} начинает расти приблизительно пропорционально N {displaystyle {sqrt {N}}} . Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около 103, хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших τ 0 {displaystyle au _{0}} происходит переход.

Использование

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов.

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов N {displaystyle N} неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено N {displaystyle N} .

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем N {displaystyle N} и при большей эквивалентной ширине. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности.

История изучения

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста.