Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика





Простое кольцо (алгебра)



Простое кольцо — кольцо R {displaystyle R} , такое, что R 2 ≠ { 0 } {displaystyle R^{2} eq {0}} и в R {displaystyle R} нет двусторонних идеалов, отличных от R {displaystyle R} и { 0 } {displaystyle {0}} .

Примеры и теоремы

  • Рассмотрим кольцо R {displaystyle R} , такое, что R 2 ≠ { 0 } {displaystyle R^{2} eq {0}} , и аддитивная группа ⟨ R , + ⟩ {displaystyle langle R,+ angle } имеет простой порядок. Тогда кольцо R {displaystyle R} — простое, так как в ⟨ R , + ⟩ {displaystyle langle R,+ angle } нет собственных подгрупп.
  • Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов.
  • Ассоциативное коммутативное кольцо R {displaystyle R} с единицей является полем тогда и только тогда, когда R {displaystyle R} простое кольцо.
  • Если P {displaystyle P} — поле, n {displaystyle n} — натуральное число, то кольцо матриц M a t ( P , n ) {displaystyle mathrm {Mat} (P,n)} — простое.

Теорема Веддербёрна

Пусть R {displaystyle R} — простое кольцо с единицей и минимальным левым идеалом. Тогда кольцо R {displaystyle R} изоморфно кольцу всех матриц порядка n {displaystyle n} над некоторым телом. При этом n {displaystyle n} определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела D {displaystyle D} кольцо M a t ( D , n ) {displaystyle mathrm {Mat} (D,n)} является простым кольцом.