Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.01.2022


17.01.2022





Яндекс.Метрика
         » » Равномерно темперированный строй

Равномерно темперированный строй

06.01.2022

Равномерно темперированный строй, равномерная темперация (нем. gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung) — темперированный музыкальный строй, в котором каждая октава делится на математически равные интервалы, в наиболее типичном случае — на двенадцать полутонов, каждый из которых равен 2 12 {displaystyle {sqrt[{12}]{2}}} . Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке (академической и эстрадной) начиная с XVIII века до наших дней. Важным преимуществом равномерной темперации является возможность транспонирования пьесы на произвольный интервал.

Исторический очерк

Равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков учёными разных специальностей «идеального» для музыки строя. Исторически предшествующие чистый и среднетоновый строи имели ряд недостатков — прежде всего, они не позволяли транспонировать и модулировать в отдалённые тональности без того, чтобы в ряде гармонически консонантных созвучий (прежде всего, трезвучий и их обращений) не возникал резкий (ясно ощутимый на слух) акустический диссонанс.

Непосредственным предшественником равномерно темперированного строя в Европе был «хорошо темперированный» строй — целое семейство неравномерных темпераций, позволявших более или менее успешно (с разной степенью «акустической чистоты») играть в любой из тональностей. Одним из теоретиков и пропагандистов такого строя был немецкий музыкант Андреас Веркмейстер. Многие исследователи разделяют мнение, что «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, хорошо знакомого с работами Веркмейстера, написан для инструментов именно с такой неравномерной темперацией.

Невозможно с достоверностью указать, кто именно «изобрёл» равномерную темперацию. Среди первых теоретиков нового равномерно темперированного строя называют Генриха Грамматеуса (1518), Винченцо Галилея (1581) и Марена Мерсенна. Фламандский математик Симон Стевин в своём труде «О теории певческого искусства» (ок. 1585) дал математически точный расчёт равномерной темперации. Написанная на родном языке Стевина (фламандском) его работа не получила резонанса; посмертная слава пришла к Стевину спустя 300 лет, в 1884 году, когда она была опубликована (и вскоре переведёна на другие языки).

Одним из первых авторов, давших теоретическое обоснование 12-ступенной равномерной темперации, был китайский принц Чжу Цзайюй (朱載堉), в трактате 1584 года.

У нового строя были свои оппоненты (например, Джузеппе Тартини) и свои пропагандисты (например, Иоганн Георг Нейдхардт). Равномерно темперированный строй вызывал отклонения от акустической («природной») чистоты созвучий, в результате в них появились небольшие биения. По мнению одних, эти нарушения чистоты были незначительной потерей, особенно с учётом новых возможностей, которые такой строй давал развитию тональной гармонии. Другие же рассматривали потерю «природной» чистоты как посягательство на «чистоту» музыки.

Противоречивость эстетических критериев (природная чистота против модуляционной свободы и неограниченной транспозиции) отражалась в трудах теоретиков музыки. Так, Андреас Веркмейстер утверждал, что в новом строе все аккорды (подразумевались прежде всего трезвучия) приобретают монотонную симметрию, в то время как в «хороших» строях каждый аккорд имел своё неповторимое (акустическое) звучание. С другой стороны, он же в позднем трактате «Musikalische Paradoxal-Discourse» (1707) в полемике с коллегой И. Г. Нейдхардтом защищал свой приоритет в «изобретении» равномерно темперированного строя. Уже в XVIII веке свобода развёртывания тональности (а также свобода транспозиции) одержала верх над природной чистотой. В академической и эстрадной музыке равномерная темперация получила мировое признание и стала фактическим стандартом музыкального строя.

Вычисление частот звуков

Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда, пользуясь формулой:

f ( i ) = f 0 ⋅ 2 i / 12 {displaystyle f(i)=f_{0}cdot 2^{i/12}} ,

где f0 — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от исследуемого звука к эталону f0.

Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию:

например, можно вычислить частоту звука на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля — ноты соль: i = − 2 {displaystyle i=-2} f ( − 2 ) = 440 H z ⋅ 2 − 2 / 12 ≈ 391 , 995 H z {displaystyle f(-2)=440,mathrm {Hz} cdot 2^{-2/12}approx {391,995},mathrm {Hz} } если надо вычислить частоту ноты Соль, но на октаву (12 полутонов) выше: i = 12 − 2 = 10 {displaystyle i=12-2=10} f ( 10 ) = 440 H z ⋅ 2 10 / 12 ≈ 783 , 991 H z {displaystyle f(10)=440,mathrm {Hz} cdot 2^{10/12}approx {783,991},mathrm {Hz} }

Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву.

Сравнение с натуральным строем

Равномерно темперированный строй можно отобразить в виде значений интервалов в центах:

Следующая таблица показывает количественные отличия интервалов равномерно темперированного ряда от натуральных интервалов:

Расчётные частоты для клавиатуры фортепиано

Примечания

  • Значения частот рассчитаны исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц.
  • О феномене неточного равенства рассчитанных и реальных частот настроенного фортепиано (расширения интервалов на краях диапазона), см. Кривые Рейлсбека.

Субконтроктава

Охватывает звуки с частотами от 16,352 Гц (включительно) до 32,703 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 0.

Контроктава

Охватывает звуки с частотами от 32,703 Гц (включительно) до 65,406 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 1.

Большая октава

Охватывает звуки с частотами от 65,406 Гц (включительно) до 130,81 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 2.

Малая октава

Охватывает звуки с частотами от 130,81 Гц (включительно) до 261,63 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 3.

Первая октава

Включает звуки с частотами от 261,63 Гц (включительно) до 523,25 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.

Вторая октава

Включает звуки с частотами от 523,25 Гц (включительно) до 1046,5 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 5.

Третья октава

Включает звуки с частотами от 1046,5 Гц (включительно) до 2093,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 3 (или три штриха). В научной нотации имеет номер 6.

Четвёртая октава

Включает звуки с частотами от 2093,0 Гц (включительно) до 4186,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 4 (или четыре штриха). В научной нотации имеет номер 7.

Пятая октава

Включает звуки с частотами от 4186,0 Гц (включительно) до 8372,0 Гц. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 5 (или пять штрихов). В научной нотации имеет номер 8.

Варианты равномерной темперации

Наиболее общепринятой и распространённой равномерной темперацией (РТ) является 12-ступенная (именно ей соответствовала приведённая выше информация).

Однако существуют и варианты равномерной темперации с другим числом делений октавы (n). При этом формула для частот модифицируется в

f ( i ) = f 0 ⋅ 2 i / n {displaystyle f(i)=f_{0}cdot 2^{i/n}} .

Чтобы выражение «n-ступенная РТ» писать короче, вводится сокращение «n-тРТ», где числу n соответствует количество ступеней на октаву. Есть музыкальные произведения, написанные в 19-тРТ, 24-тРТ, 31-тРТ и даже 53-тРТ. В начале XXI века П. А. Чернобривец работает над исследованием 20-ступенной равномерной темперации.

Выбор значения n = 12 в качестве основного обусловлен тем, что для акустически чистого звучания многоголосных музыкальных произведений особенно важно чистое звучание квинт (как наиболее «консонансных», не считая октавы, интервалов), а в идеале соотношение частот образующих квинту нот должно равняться 3/2. При РТ «квинта» для каждого n отвечает такому числу k, что 2 k / n ≈ 3 / 2 {displaystyle 2^{k/n}approx 3/2} , и перебором можно проверить, что при n = 12 (с k = 7 — это ближайшее целое к ln(3/2)/ln(2)n) достигается лучшее приближение, нежели при меньших или несколько бóльших n (точнее было бы при n = 41 или n = 53, но слишком большие n неудобны с практической точки зрения).

Равномерные темперации могут также делить иной интервал, не только октаву, на целое число равных ступеней. Чтобы избежать неясности, в англоязычной литературе, например, широко используется словосочетание «equal divisions of an octave» или его сокращённая форма EDO. В русском языке тот же смысл передаёт словосочетание «равные деления октавы» или РДО. Поэтому 12-тРТ может также обозначаться как 12РДО, 19-тРТ как 19РДО и так далее.

Равномерно темперированный и другие строи

Наряду с господствующим ныне равномерно темперированным строем существовали и другие строи. Русский исследователь музыки XIX века Владимир Одоевский, например, написал так:

Русский простолюдин с музыкальным дарованием, у которого ухо ещё не испорчено ни уличными шарманками, ни итальянскою оперою, поет весьма верно; и по собственному чутью берет интервал весьма отчетливо, разумеется, не в нашей уродливой темперированной гамме <…> Я записывал с голоса [известного нашего русского певца Ивана Евстратиевича Молчанова, человека с чудною музыкальною организациею] весьма интересную песню: «У Троицы, у Сергия, было под Москвою» <…> заметил, что Si певца никак не подходит к моему фортепианному Si; и Молчанов также заметил, что здесь что-то не то <…> Это навело меня на мысль устроить фортепиано нетемперированное в такой системе, как обыкновенное. За основание я принял естественную гамму, вычисленную акустическими логарифмами по методе Прони; в этом энгармоническом клавицине все квинты чистые, диезы, отмеченные красным цветом, отделены от бемолей и по невозможности в самом механизме инструмента, я пожертвовал fa ♭ {displaystyle flat } и ut ♭ {displaystyle flat } , чтобы сохранить si ♯ {displaystyle sharp } и mi ♯ {displaystyle sharp } , потому что наши народные певцы — по непонятной для меня причине поют более в диезных нежели в бемольных тонах

— В. Ф. Одоевский

Широкомасштабное движение музыкантов-аутентистов практикует воспроизведение музыки прошлого в тех строях, в которых исполняемая ими музыка была написана.

В неевропейской традиционной музыке сохраняется практика использования строев, отличающихся от равномерно темперированного, — во всех жанрах и формах мощной макамо-мугамной традиции, а также в индийской и др.