Теорема Рауса

Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике A B C {displaystyle ABC} точки D {displaystyle D} , E {displaystyle E} и F {displaystyle F} лежат на сторонах B C {displaystyle BC} , C A {displaystyle CA} и A B {displaystyle AB} соответственно, то, обозначив C D B D {displaystyle { frac {CD}{BD}}} = x {displaystyle =x} , A E C E {displaystyle { frac {AE}{CE}}} = y {displaystyle =y} и B F A F {displaystyle { frac {BF}{AF}}} = z {displaystyle =z} , ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами A D {displaystyle AD} , B E {displaystyle BE} и C F {displaystyle CF} по отношению к площади треугольника A B C {displaystyle ABC} выражается соотношением

( x y z − 1 ) 2 ( x y + y + 1 ) ( y z + z + 1 ) ( z x + x + 1 ) {displaystyle {frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}}

Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, x = y = z = 2 {displaystyle x=y=z=2} теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle. В случае x = y = z = 1 {displaystyle x=y=z=1} медианы пересекаются в центроиде.

Доказательство

Положим площадь треугольника A B C {displaystyle ABC} равной 1 {displaystyle 1} . Для треугольника A B D {displaystyle ABD} и линии F R C {displaystyle FRC} , используя теорему Менелая, получим:

A F F B × B C C D × D R R A = 1 {displaystyle {frac {AF}{FB}} imes {frac {BC}{CD}} imes {frac {DR}{RA}}=1}

Тогда D R R A = B F F A × D C C B = z x x + 1 {displaystyle {frac {DR}{RA}}={frac {BF}{FA}} imes {frac {DC}{CB}}={frac {zx}{x+1}}} Поэтому площадь треугольника A R C {displaystyle ARC} равна

S A R C = A R A D S A D C = A R A D × D C B C S A B C = x z x + x + 1 {displaystyle S_{ARC}={frac {AR}{AD}}S_{ADC}={frac {AR}{AD}} imes {frac {DC}{BC}}S_{ABC}={frac {x}{zx+x+1}}}

Аналогично, получаем: S B P A = y x y + y + 1 {displaystyle S_{BPA}={frac {y}{xy+y+1}}} и S C Q B = z y z + z + 1 {displaystyle S_{CQB}={frac {z}{yz+z+1}}} Таким образом, площадь треугольника P Q R {displaystyle PQR} равна:

S P Q R = S A B C − S A R C − S B P A − S C Q B {displaystyle displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}} = 1 − x z x + x + 1 − y x y + y + 1 − z y z + z + 1 {displaystyle =1-{frac {x}{zx+x+1}}-{frac {y}{xy+y+1}}-{frac {z}{yz+z+1}}} = ( x y z − 1 ) 2 ( x z + x + 1 ) ( y x + y + 1 ) ( z y + z + 1 ) . {displaystyle ={frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}