Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.01.2022


17.01.2022





Яндекс.Метрика
         » » Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

10.12.2021

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

Для трёхмерного вектора скорости жидкости v → ( x → , t ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},;t)} и давления p ( x → , t ) {displaystyle p({vec {x}},;t)} уравнения Навье — Стокса записываются так:

∂ v → ∂ t + ( v → ⋅ ∇ ) v → = − 1 ρ ∇ p + ν Δ v → + f → ( x → , t ) {displaystyle {frac {partial {vec {v}}}{partial t}}+({vec {v}}cdot abla ){vec {v}}=-{frac {1}{ ho }} abla p+ u Delta {vec {v}}+{vec {f}}({vec {x}},;t)} ,

где ν > 0 {displaystyle u >0} — это кинематическая вязкость, ρ {displaystyle ho } — плотность, f → ( x → , t ) {displaystyle {vec {f}}({vec {x}},;t)} — внешняя сила, ∇ {displaystyle abla } — оператор набла и Δ {displaystyle Delta } — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как ∇ ⋅ ∇ {displaystyle abla cdot abla } или ∇ 2 {displaystyle abla ^{2}} . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы как:

v → ( x → , t ) = ( v 1 ( x → , t ) , v 2 ( x → , t ) , v 3 ( x → , t ) ) , f → ( x → , t ) = ( f 1 ( x → , t ) , f 2 ( x → , t ) , f 3 ( x → , t ) ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},;t)=(v_{1}({vec {x}},;t),;v_{2}({vec {x}},;t),;v_{3}({vec {x}},;t)),qquad {vec {f}}({vec {x}},;t)=(f_{1}({vec {x}},;t),;f_{2}({vec {x}},;t),;f_{3}({vec {x}},;t))} ,

то для каждого значения i = 1 , 2 , 3 {displaystyle i=1,;2,;3} получается соответствующее скалярное уравнение:

∂ v i ∂ t + ∑ j = 1 3 v j ∂ v i ∂ x j = − 1 ρ ∂ p ∂ x i + ν ∑ j = 1 3 ∂ 2 v i ∂ x j 2 + f i ( x → , t ) . {displaystyle {frac {partial v_{i}}{partial t}}+sum _{j=1}^{3}v_{j}{frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}}=-{frac {1}{ ho }}{frac {partial p}{partial x_{i}}}+ u sum _{j=1}^{3}{frac {partial ^{2}v_{i}}{partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({vec {x}},;t).}

Неизвестными величинами являются скорость v → ( x → , t ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},;t)} и давление p ( x → , t ) {displaystyle p({vec {x}},;t)} . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

∇ ⋅ v → = 0. {displaystyle abla cdot {vec {v}}=0.}

Начальные условия к уравнениям Навье — Стокса задаются в виде:

v → ( x → , 0 ) = v 0 → ( x → ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},0)={vec {v^{0}}}({vec {x}})} ,

где v 0 → ( x → ) {displaystyle {vec {v^{0}}}({vec {x}})} — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности ∇ ⋅ v 0 → = 0 {displaystyle abla cdot {vec {v^{0}}}=0} .

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе T 3 = R 3 / Z 3 {displaystyle mathbb {T} ^{3}=mathbb {R} ^{3}/mathbb {Z} ^{3}} с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость v 0 → ( x ) {displaystyle {vec {v^{0}}}(x)} — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса α {displaystyle alpha } и любого K > 0 {displaystyle K>0} существует постоянная C α , K > 0 {displaystyle C_{alpha ,K}>0} (зависящая только от α {displaystyle alpha } и K {displaystyle K} ) такая, что

| ∂ α v 0 → ( x ) | ≤ C ( 1 + | x → | ) K {displaystyle vert partial ^{alpha }{vec {v_{0}}}(x)vert leq {frac {C}{(1+vert {vec {x}}vert )^{K}}}qquad } для всех x ∈ R 3 . {displaystyle qquad xin mathbb {R} ^{3}.}

Пусть внешняя сила f → ( x → , t ) {displaystyle {vec {f}}({vec {x}},t)} — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

| ∂ α f → ( x → ) | ≤ C ( 1 + | x → | + t ) K {displaystyle vert partial ^{alpha }{vec {f}}({vec {x}})vert leq {frac {C}{(1+vert {vec {x}}vert +t)^{K}}}qquad } для всех ( x → , t ) ∈ R 3 × [ 0 , ∞ ) . {displaystyle qquad ({vec {x}},t)in mathbb {R} ^{3} imes [0,infty ).}

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при | x → | → ∞ {displaystyle vert {vec {x}}vert o infty } . Требуется выполнение следующих условий:

  • v → ( x → , t ) ∈ [ C ∞ ( R 3 × [ 0 , ∞ ) ) ] 3 , p ( x → , t ) ∈ C ∞ ( R 3 × [ 0 , ∞ ) ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},t)in left[C^{infty }(mathbb {R} ^{3} imes [0,infty )) ight]^{3},,qquad p({vec {x}},t)in C^{infty }(mathbb {R} ^{3} imes [0,infty ))}
  • Существует постоянная E ∈ ( 0 , ∞ ) {displaystyle Ein (0,infty )} такая, что ∫ R 3 | v → ( x → , t ) | 2 d x < E {displaystyle int _{mathbb {R} ^{3}}vert {vec {v}}({vec {x}},t)vert ^{2}dx<E} для всех t ≥ 0 {displaystyle tgeq 0} .
  • Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

    Требуется доказать одно из двух утверждений:

    • существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} : для f → ( x → , t ) ≡ 0 {displaystyle {vec {f}}({vec {x}},t)equiv 0} и любого начального условия v 0 → ( x → ) {displaystyle {vec {v_{0}}}({vec {x}})} , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости v → ( x → , t ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},t)} и поле давления p ( x → , t ) {displaystyle p({vec {x}},t)} , удовлетворяющее условиям 1 и 2;
    • несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} : существуют начальное условие v 0 → ( x → ) {displaystyle {vec {v_{0}}}({vec {x}})} и внешняя сила f → ( x → , t ) {displaystyle {vec {f}}({vec {x}},t)} такие, что не существует решений v → ( x → , t ) {displaystyle {vec {v}}({vec {x}},t)} и p ( x → , t ) {displaystyle p({vec {x}},t)} , удовлетворяющих условиям 1 и 2.

    Попытки решения

    10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям. В 2014 году была найдена серьёзная ошибка в доказательстве, которую признал автор.