Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




18.01.2022


17.01.2022





Яндекс.Метрика
         » » Разрешимая группа

Разрешимая группа

26.11.2021

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения

Разрешимая группа — группа G {displaystyle G} , такая что убывающий ряд

G ▹ G ( 1 ) ▹ G ( 2 ) ▹ ⋯ , {displaystyle G riangleright G^{(1)} riangleright G^{(2)} riangleright cdots ,}

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если H {displaystyle H} — нормальная подгруппа в G {displaystyle G} , H {displaystyle H} разрешима и факторгруппа G / H {displaystyle G/H} разрешима, то G {displaystyle G} разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп { 1 } = G 0 ⩽ G 1 ⩽ ⋯ ⩽ G k = G {displaystyle {1}=G_{0}leqslant G_{1}leqslant cdots leqslant G_{k}=G} , такая что G j − 1 {displaystyle G_{j-1}} является нормальной подгруппой G j {displaystyle G_{j}} , и G j / G j − 1 {displaystyle G_{j}/G_{j-1}} — абелева группа.

Свойства

  • Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп.
  • Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
  • Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.
  • Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
  • Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.

Примеры

  • Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
  • Симметрическая группа S n {displaystyle S_{n}} является разрешимой тогда и только тогда, когда n ⩽ 4 {displaystyle nleqslant 4} .
  • Группа невырожденных верхних треугольных матриц U T n {displaystyle mathbf {UT} _{n}} разрешима.
  • Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
  • Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа A 5 {displaystyle A_{5}} порядка 60.