Интеграл Даниеля

Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.

В сравнении с интегралом Лебега, интеграл Даниеля не требует предварительной разработки подходящей теории меры, за счёт чего имеет определённые преимущества, особенно в функциональном анализе при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса). Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу, тогда как интеграл Даниеля строится в этих случаях относительно просто.

Предложен английским математиком Перси Джоном Даниелем в 1918 году.

Определение

Основная идея состоит в обобщении понятия интеграла, исходя о представлении о нём как о функционале. Рассмотрим семейство H {displaystyle H} ограниченных вещественнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на пространстве X {displaystyle X} , удовлетворяющее следующим аксиомам:

Если f 1 , f 2 ∈ H {displaystyle f_{1},f_{2}in H} , то f 1 + f 2 ∈ H {displaystyle f_{1}+f_{2}in H} .

Если f ∈ H {displaystyle fin H} , то c f ∈ H {displaystyle cfin H} , где c {displaystyle c} — действительное число.

Если f 1 , f 2 ∈ H {displaystyle f_{1},f_{2}in H} , то max ( f 1 , f 2 ) ∈ H {displaystyle max(f_{1},f_{2})in H} и min ( f 1 , f 2 ) ∈ H {displaystyle min(f_{1},f_{2})in H} .

На классе H {displaystyle H} задан функционал U ( f ) {displaystyle U(f)} , обладающий следующими свойствами:

U ( f 1 + f 2 ) = U ( f 1 ) + U ( f 2 ) {displaystyle U(f_{1}+f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})} .

U ( c f ) = c U ( f ) {displaystyle U(cf)=cU(f)} .

Если f 1 ⩾ f 2 ⩾ f 3 ⩾ . . . {displaystyle f_{1}geqslant f_{2}geqslant f_{3}geqslant ...} и lim n → ∞ f n = 0 {displaystyle lim _{n o infty }f_{n}=0} , то lim n → ∞ U ( f n ) = 0 {displaystyle lim _{n o infty }U(f_{n})=0} (свойство Лебега).

U ( f ) ⩾ 0 {displaystyle U(f)geqslant 0} , если f ⩾ 0 {displaystyle fgeqslant 0}

В этих терминах можно определить множества меры нуль. Множество Z {displaystyle Z} , являющееся подмножеством X {displaystyle X} , имеет меру нуль, если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций h p ( x ) ∈ H {displaystyle h_{p}(x)in H} такая, что I h p < ε {displaystyle Ih_{p}<varepsilon } и sup p h p ( x ) ⩾ 1 {displaystyle sup _{p}h_{p}(x)geqslant 1} на Z {displaystyle Z} .

Если некоторое условие выполняется на X {displaystyle X} везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество L + {displaystyle L^{+}} , состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей { h n } {displaystyle {h_{n}}} элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов I h n {displaystyle Ih_{n}} ограничено. Интеграл функции f ∈ L + {displaystyle fin L^{+}} по определению равен:

I f = lim n → ∞ I h n . {displaystyle If=lim _{n o infty }Ih_{n}.}

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности { h n } {displaystyle {h_{n}}} .

Свойства

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию χ ( x ) {displaystyle chi (x)} некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.