Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер




27.05.2022


18.01.2022


17.01.2022





Яндекс.Метрика
         » » Клелия (кривая)

Клелия (кривая)

04.11.2021

Клелия — пространственная геометрическая фигура: кривая на сфере, задаваемая в сферических координатах уравнением

φ = c θ , {displaystyle varphi =c, heta ,}

где переменные φ {displaystyle varphi } и θ {displaystyle heta } — соответственно азимутальный и зенитный углы, c > 0 {displaystyle c>0} — некоторая константа.

Клелии были впервые описаны итальянским математиком Гвидо Гранди во второй части работы «Геометрические цветы» («Flores geometrici», 1728) и названы им в честь современницы, математика Клелии Борромео.

Проекции клелий на экваториальную плоскость θ = π / 2 {displaystyle heta =pi /2} являются розами — плоскими кривыми, также открытыми Гранди и описанными им в первой части той же работы.

Доказательство Запишем уравнение клелии в виде θ = φ c {displaystyle heta ={frac {varphi }{c}}} и возьмём от обеих частей синус: sin ⁡ θ = sin ⁡ φ c . {displaystyle sin heta =sin {frac {varphi }{c}}.} Перейдём к цилиндрическим координатам: с учётом ρ = r sin ⁡ θ {displaystyle ho =rsin heta } уравнение кривой можно записать как ρ r = sin ⁡ φ c . {displaystyle {frac { ho }{r}}=sin {frac {varphi }{c}}.} Величина r {displaystyle r} на сфере постоянна; обозначим её r = a . {displaystyle r=a.} Обозначим 1 c = k . {displaystyle {frac {1}{c}}=k.} Обе константы положительны. Получаем ρ = a sin ⁡ k φ {displaystyle ho =asin kvarphi } — уравнение розы в полярных координатах.

На практике форму клелий имеют круговые полярные орбиты спутников. При этом константа c {displaystyle c} равна отношению периода обращения спутника к периоду осевого вращения центрального тела.

Частным случаем клелии, при c = 1 , {displaystyle c=1,} является кривая Вивиани. Она соответствует синхронной орбите.

Всякая клелия проходит через северный ( θ = 0 ) {displaystyle left( heta =0 ight)} и южный ( θ = π ) {displaystyle left( heta =pi ight)} полюса сферы. При рациональном c {displaystyle c} кривая замкнута и имеет конечную длину, при иррациональном — не замкнута и её длина бесконечна.