Распределение Пуассона

Распределение Пуассона — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

Выберем фиксированное число λ > 0 {displaystyle lambda >0} и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

p ( k ) ≡ P ( Y = k ) = λ k k ! e − λ {displaystyle p(k)equiv mathbb {P} (Y=k)={frac {lambda ^{k}}{k!}},e^{-lambda }} ,

где

• k {displaystyle k} — количество событий,
• λ {displaystyle lambda } — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
• k ! {displaystyle k!} обозначает факториал числа k {displaystyle k} ,
• e = 2,718 281828 … {displaystyle e=2{,}718281828ldots } — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина Y {displaystyle Y} имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием λ {displaystyle lambda } , записывается: Y ∼   P ( λ ) {displaystyle Ysim ~mathrm {P} (lambda )} .

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

E Y ( t ) = e λ ( e t − 1 ) {displaystyle E_{Y}(t)=e^{lambda left(e^{t}-1 ight)}} ,

откуда

M [ Y ] = λ {displaystyle mathbb {M} [Y]=lambda } , D [ Y ] = λ {displaystyle mathbb {D} [Y]=lambda } .

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

M Y [ k ] = λ k {displaystyle mathbb {M} Y^{[k]}=lambda ^{k}} ,

где k = 1 , 2 , . . . {displaystyle k=1,2,...}

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть Y i ∼ P ( λ i ) , i = 1 , … , n {displaystyle Y_{i}sim mathrm {P} (lambda _{i}),;i=1,ldots ,n} . Тогда

Y = ∑ i = 1 n Y i ∼ P ( ∑ i = 1 n λ i ) {displaystyle Y=sum limits _{i=1}^{n}Y_{i}sim mathrm {P} left(sum limits _{i=1}^{n}lambda _{i} ight)} .

• Пусть Y i ∼ P ( λ i ) , i = 1 , 2 {displaystyle Y_{i}sim mathrm {P} (lambda _{i}),;i=1,2} , и Y = Y 1 + Y 2 {displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2}} . Тогда условное распределение Y 1 {displaystyle Y_{1}} при условии, что Y = y {displaystyle Y=y} , биномиально. Более точно:

Y 1 ∣ Y = y ∼ B i n ( y , λ 1 λ 1 + λ 2 ) {displaystyle Y_{1}mid Y=ysim mathrm {Bin} left(y,{frac {lambda _{1}}{lambda _{1}+lambda _{2}}} ight)} .

• C увеличением λ {displaystyle lambda } распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением σ = λ {displaystyle sigma ={sqrt {lambda }}} и сдвигом λ {displaystyle lambda } . Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора ln ⁡ ( λ / k ) k {displaystyle ln(lambda /k)^{k}} в окрестности k = λ {displaystyle k=lambda } и тем, что в пределах пика распределения k ≈ λ {displaystyle {sqrt {k}}approx {sqrt {lambda }}} . Тогда получается

p ( k ) ≈ 1 2 π λ exp ⁡ ( − ( k − λ ) 2 2 λ ) {displaystyle p(k)approx {frac {1}{sqrt {2pi lambda }}}exp left(-{frac {(k-lambda )^{2}}{2lambda }} ight)}

Асимптотическое стремление к распределению

Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин ξ 1 , ξ 2 , … {displaystyle xi _{1},xi _{2},dots } , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого k {displaystyle k} выполнено P { ξ n = k } ∼ λ k e − λ k ! {displaystyle P{xi _{n}=k}sim {frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}}} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .

Простейшим примером является случай, когда ξ n {displaystyle xi _{n}} имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха λ n {displaystyle {frac {lambda }{n}}} в каждом из n {displaystyle n} испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами

Рассмотрим последовательность случайных величин ξ 1 , ξ 2 , … , {displaystyle xi _{1},xi _{2},dots ,} принимающих целые неотрицательные значения. Если μ r ( ξ n ) ∼ λ r {displaystyle mu _{r}({xi _{n}})sim lambda ^{r}} при n → ∞ {displaystyle n o infty } и любом фиксированном r {displaystyle r} (где μ r ( ξ n ) {displaystyle mu _{r}({xi _{n}})} — r {displaystyle r} -й факториальный момент), то для всякого k {displaystyle k} при n → ∞ {displaystyle n o infty } выполнено P { ξ n = k } ∼ λ k e − λ k ! {displaystyle P{xi _{n}=k}sim {frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}}} .

Доказательство

Лемма

Для начала докажем общую формулу вычисления вероятности появления конкретного значения случайной величины через факториальные моменты. Пусть для некоторого ξ {displaystyle xi } известны все μ r ( ξ ) {displaystyle mu _{r}(xi )} и μ r ( ξ ) → 0 {displaystyle mu _{r}(xi ) o 0} при r → ∞ {displaystyle r o infty } . Тогда

∑ r = k ∞ ( − 1 ) r − k μ r ( ξ ) k ! ( r − k ) ! = ∑ r = k ∞ ∑ s = r ∞ ( − 1 ) r − k s ! k ! ( r − k ) ! ( s − r ) ! P { ξ = s } . {displaystyle sum limits _{r=k}^{infty }{(-1)^{r-k}{frac {mu _{r}(xi )}{k!(r-k)!}}}=sum limits _{r=k}^{infty }{sum limits _{s=r}^{infty }{(-1)^{r-k}{frac {s!}{k!(r-k)!(s-r)!}}P{xi =s}}}.}

Изменяя порядок суммирования, это выражение можно преобразовать в

∑ s = k ∞ P { ξ = s } ∑ r = k s ( − 1 ) r − k s ! k ! ( r − k ) ! ( s − r ) ! = ∑ s = k ∞ P { ξ = s } s ! k ! ∑ t = 0 s − k ( − 1 ) t t ! ( ( s − k ) − t ) ! . {displaystyle sum limits _{s=k}^{infty }{P{xi =s}sum limits _{r=k}^{s}{frac {(-1)^{r-k}s!}{k!(r-k)!(s-r)!}}}=sum limits _{s=k}^{infty }{P{xi =s}{frac {s!}{k!}}sum _{t=0}^{s-k}{frac {(-1)^{t}}{t!((s-k)-t)!}}}.}

Далее, из известной формулы ∑ k = 0 n ( − 1 ) k C n k = 0 {displaystyle sum limits _{k=0}^{n}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0} получаем, что s ! k ! ∑ t = 0 s − k ( − 1 ) t t ! ( ( s − k ) − t ) ! = 0 {displaystyle {frac {s!}{k!}}sum _{t=0}^{s-k}{frac {(-1)^{t}}{t!((s-k)-t)!}}=0} при s > k {displaystyle s>k} и то же выражение вырождается в 1 {displaystyle 1} при s = k {displaystyle s=k} .

Тем самым доказано, что P { ξ = k } = ∑ r = k ∞ ( − 1 ) r − k μ r ( ξ ) k ! ( r − k ) ! . {displaystyle P{xi =k}=sum limits _{r=k}^{infty }{(-1)^{r-k}{frac {mu _{r}(xi )}{k!(r-k)!}}}.}

Доказательство теоремы

Согласно лемме и условиям теоремы, P { ξ n = k } ∼ ∑ r = k ∞ ( − 1 ) r − k λ r k ! ( r − k ) ! = ∑ r = 0 ∞ ( − 1 ) r λ r + k k ! r ! = λ k k ! ∑ r = 0 ∞ ( − λ ) r r ! = λ k e − λ k ! {displaystyle P{xi _{n}=k}sim sum limits _{r=k}^{infty }{(-1)^{r-k}{frac {lambda ^{r}}{k!(r-k)!}}}=sum limits _{r=0}^{infty }{(-1)^{r}{frac {lambda ^{r+k}}{k!r!}}}={frac {lambda ^{k}}{k!}}sum limits _{r=0}^{infty }{frac {(-lambda )^{r}}{r!}}={frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}}} при n → ∞ {displaystyle n o infty } .

Q.E.D.

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к P ( λ ) {displaystyle mathrm {P} (lambda )} распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном n {displaystyle n} -вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью p n ∼ 2 λ n 2 {displaystyle p_{n}sim {frac {2lambda }{n^{2}}}} .

История

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах», в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.