Главная
Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:
E n ( f ) L 2 < K ω f ( δ ) . {displaystyle E_{n}(f)_{L^{2}}<Komega _{f}(delta ).}В примере величина наилучшего приближения функции f {displaystyle f} полиномами степени n {displaystyle n} в пространстве L 2 {displaystyle L^{2}} оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции f {displaystyle f} в точке δ {displaystyle delta } . Величина K {displaystyle K} называется константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа δ {displaystyle delta } , при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.
История
Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (англ. Dunham Jackson) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что
E n ( f ) ⩽ c ω ( f , 1 n ) {displaystyle E_{n}(f)leqslant comega left(f,;{frac {1}{n}} ight)}и
E n ( f ) ⩽ c r n r ω ( f ( r ) , 1 n ) . {displaystyle E_{n}(f)leqslant {frac {c_{r}}{n^{r}}}omega left(f^{(r)},;{frac {1}{n}} ight).}Здесь E n ( f ) {displaystyle E_{n}(f)} есть величина наилучшего приближения функции f {displaystyle f} в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени n − 1 {displaystyle n-1} . В первом неравенстве функция f {displaystyle f} предполагается непрерывной, а во втором — r {displaystyle r} -раз дифференцируемой.
В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году академик С. Н. Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка k {displaystyle k} . В 1949 году С. Б. Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что
E n ( f ) ⩽ c k ω k ( f , 1 n ) {displaystyle E_{n}(f)leqslant c_{k}omega _{k}left(f,;{frac {1}{n}} ight)}и
E n ( f ) ⩽ c k + r n r ω k ( f ( r ) , 1 n ) . {displaystyle E_{n}(f)leqslant {frac {c_{k+r}}{n^{r}}}omega _{k}left(f^{(r)},;{frac {1}{n}} ight).}Здесь константы c k {displaystyle c_{k}} не зависят от f {displaystyle f} , n {displaystyle n} или r {displaystyle r} . В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона — Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона — Стечкина.
В 1961 году Н. П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:
E n ( f ) < 1 ⋅ ω ( f , π n ) . {displaystyle E_{n}(f)<1cdot omega left(f,;{frac {pi }{n}} ight).}В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах L p {displaystyle L_{p}} для всех p ∈ [ 1 , ∞ ) {displaystyle pin [1,;infty )} :
E n ( f ) p < 3 2 ⋅ ω ( f , π n ) p . {displaystyle E_{n}(f)_{p}<{frac {3}{2}}cdot omega left(f,;{frac {pi }{n}} ight)_{p}.}Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.