Главная
Статьи





16.09.2021


16.09.2021


16.09.2021


16.09.2021


16.09.2021





Яндекс.Метрика
         » » Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий

01.08.2021

Последовательный статистический критерий — последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе.

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина X {displaystyle displaystyle X} с неизвестным (полностью или частично) распределением P {displaystyle mathbb {P} } (формально, в математической нотации, X : Ω ↦ R {displaystyle X:Omega mapsto mathbb {R} } , где вероятностное пространство Ω {displaystyle Omega } снабжено σ {displaystyle sigma } -алгеброй событий F {displaystyle {mathcal {F}}} , и X {displaystyle displaystyle X} измерима относительно Борелевской σ {displaystyle sigma } -алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза H 0 : P ∈ P 0 {displaystyle H_{0}:,mathbb {P} in {mathcal {P}}_{0}} против альтернативы H 1 : P ∈ P 1 {displaystyle H_{1}:,mathbb {P} in {mathcal {P}}_{1}} .

На каждом этапе i ≥ 1 {displaystyle igeq 1} статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина X i {displaystyle displaystyle X_{i}} — копия X {displaystyle displaystyle X} , до тех пор пока i ≤ ν {displaystyle ileq u } , где ν {displaystyle displaystyle u } — некоторый (случайный) момент остановки. Последовательный статистический критерий — это пара ( ν , δ ) {displaystyle ( u ,delta )} , где δ {displaystyle displaystyle delta } — любая функция от ( X 1 , … , X ν ) {displaystyle (X_{1},dots ,X_{ u })} , принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой H 0 {displaystyle H_{0}} или альтернативной H 1 {displaystyle H_{1}} гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности σ {displaystyle sigma } -алгебр F n = σ ( X 1 , X 2 , … X n ) {displaystyle {mathcal {F}}_{n}=sigma (X_{1},X_{2},dots X_{n})} , порожденных случайными величинами X 1 , X 2 , … X n {displaystyle X_{1},X_{2},dots X_{n}} , n = 1 , 2 , … {displaystyle n=1,2,dots } . Тогда решающая функция δ {displaystyle displaystyle delta } должна быть измеримой относительно σ {displaystyle sigma } -алгебры F ν {displaystyle {mathcal {F}}_{ u }} событий, предшествующих моменту ν {displaystyle u } : F ν = { A ∈ F : A ∩ { ν ≤ n } ∈ F n } {displaystyle {mathcal {F}}_{ u }={Ain {mathcal {F}}:Acap { u leq n}in {mathcal {F}}_{n}}} .

Функция мощности критерия ( ν , δ ) {displaystyle ( u ,delta )} в "точке" P {displaystyle mathbb {P} } определяется как β ( P ; ν , δ ) = P ( δ = 1 ) {displaystyle eta (mathbb {P} ; u ,delta )=mathbb {P} (delta =1)} . Если P ∈ P 0 {displaystyle mathbb {P} in {mathcal {P}}_{0}} , то β ( P ; ν , δ ) {displaystyle eta (mathbb {P} ; u ,delta )} называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если P ∈ P 1 {displaystyle mathbb {P} in {mathcal {P}}_{1}} , то P ( δ = 0 ) {displaystyle mathbb {P} (delta =0)} называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированные последовательные критерии

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара ( ψ , ϕ ) {displaystyle displaystyle (psi ,phi )} , где ψ = ( ψ 1 , ψ 2 , … , ) {displaystyle psi =(psi _{1},psi _{2},dots ,)} , ϕ = ( ϕ 1 , ϕ 2 , … , ) {displaystyle phi =(phi _{1},phi _{2},dots ,)} , и ψ n = ψ n ( X 1 , … , X n ) {displaystyle psi _{n}=psi _{n}(X_{1},dots ,X_{n})} , ϕ n = ϕ n ( X 1 , … , X n ) {displaystyle phi _{n}=phi _{n}(X_{1},dots ,X_{n})} - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1, n = 1 , 2 , … {displaystyle n=1,2,dots } . На каждом этапе n ≥ 1 {displaystyle ngeq 1} (если эксперимент до него дошел) ψ n ( X 1 , … , X n ) {displaystyle psi _{n}(X_{1},dots ,X_{n})} интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а ϕ n ( X 1 , … , X n ) {displaystyle phi _{n}(X_{1},dots ,X_{n})} - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

ψ = ( ψ 1 , ψ 2 , … , ) {displaystyle psi =(psi _{1},psi _{2},dots ,)} называется рандомизированным правилом остановки, а ϕ = ( ϕ 1 , ϕ 2 , … , ) {displaystyle phi =(phi _{1},phi _{2},dots ,)} - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все ψ n {displaystyle displaystyle psi _{n}} принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки ψ {displaystyle displaystyle psi } определяет нерандомизированный момент остановки ν = min { n : ψ n ( X 1 , … , X n ) = 1 } {displaystyle u =min{n:psi _{n}(X_{1},dots ,X_{n})=1}} . Аналогично, если все ϕ n {displaystyle displaystyle phi _{n}} принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения ϕ {displaystyle displaystyle phi } определяет нерандомизированную решающую функцию: δ = ϕ n {displaystyle displaystyle delta =phi _{n}} , если ψ n = 1 {displaystyle displaystyle psi _{n}=1} .

Функция мощности критерия ( ψ , ϕ ) {displaystyle (psi ,phi )} в "точке" P {displaystyle mathbb {P} } определяется как β ( P ; ψ , ϕ ) = ∑ i = 1 ∞ E ( 1 − ψ 1 ) … ( 1 − ψ i − 1 ) ψ i ϕ i {displaystyle eta (mathbb {P} ;psi ,phi )=sum _{i=1}^{infty }mathbb {E} (1-psi _{1})dots (1-psi _{i-1})psi _{i}phi _{i}} , где E {displaystyle mathbb {E} } - математическое ожидание относительно P {displaystyle mathbb {P} } . Если P ∈ P 0 {displaystyle mathbb {P} in {mathcal {P}}_{0}} , то β ( P ; ψ , ϕ ) {displaystyle eta (mathbb {P} ;psi ,phi )} - вероятность ошибки первого рода. Если P ∈ P 1 {displaystyle mathbb {P} in {mathcal {P}}_{1}} , то вероятность ошибки второго рода равна P ( ν < ∞ ) − β ( P ; ψ , ϕ ) {displaystyle mathbb {P} ( u <infty )-eta (mathbb {P} ;psi ,phi )} , где P ( ν < ∞ ) = ∑ i = 1 ∞ E ( 1 − ψ 1 ) … ( 1 − ψ i − 1 ) ψ i {displaystyle mathbb {P} ( u <infty )=sum _{i=1}^{infty }mathbb {E} (1-psi _{1})dots (1-psi _{i-1})psi _{i}} . Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки ψ {displaystyle psi } определяется как E ν = ∑ i = 1 ∞ i E ( 1 − ψ 1 ) … ( 1 − ψ i − 1 ) ψ i {displaystyle E u =sum _{i=1}^{infty }imathbb {E} (1-psi _{1})dots (1-psi _{i-1})psi _{i}} , если P ( ν < ∞ ) = 1 {displaystyle mathbb {P} ( u <infty )=1} (в противном случае E ν = ∞ {displaystyle E u =infty } ).

Пример

Последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Вальда)