Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер

















Яндекс.Метрика





Лемма Гаусса о приводимости многочленов



Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Формулировка

Пусть R {displaystyle R} — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

  • Пусть a ∈ R , f , g ∈ R [ x ] , {displaystyle ain R,;;;f,gin R[x],} a {displaystyle a} неприводимо (а значит и просто) в R {displaystyle R} и делит все коэффициенты произведения f ( x ) g ( x ) . {displaystyle f(x)g(x).} Тогда a {displaystyle a} также делит все коэффициенты или многочлена f ( x ) , {displaystyle f(x),} или многочлена g ( x ) . {displaystyle g(x).} В частности, если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} примитивен;
  • Если Q {displaystyle Q} — поле частных кольца R , {displaystyle R,} и если многочлен неприводим в кольце R [ x ] , {displaystyle R[x],} то он неприводим и в кольце Q [ x ] . {displaystyle Q[x].} Более того, если многочлен примитивен в R [ x ] , {displaystyle R[x],} то верно и обратное.

Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

Доказательство (для факториальных колец)

Докажем, что если простой элемент p {displaystyle p} кольца R {displaystyle R} является общим делителем коэффициентов f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} , то он делит либо все коэффициенты f ( x ) , {displaystyle f(x),} либо все коэффициенты g ( x ) {displaystyle g(x)} .

Пусть f ( x ) = a 0 + a 1 x + … + a n x n {displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}} , g ( x ) = b 0 + b 1 x + … + b m x m {displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+ldots +b_{m}x^{m}} , n = deg ⁡ f , m = deg ⁡ g {displaystyle n=operatorname {deg} f,m=operatorname {deg} g} — степени этих многочленов.

Допустим, что p {displaystyle p} не делит в совокупности ни коэффициенты f ( x ) , {displaystyle f(x),} ни g ( x ) . {displaystyle g(x).} Тогда существуют наименьшие i , j {displaystyle i,j} для которых p ∤ a i {displaystyle p mid a_{i}} и p ∤ b j . {displaystyle p mid b_{j}.}

Коэффициент при элементе степени i + j {displaystyle i+j} многочлена f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} имеет вид:

∑ k < i a k b i + j − k + a i b j + ∑ l < j a i + j − l b l . {displaystyle sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.}

В соответствии с выбором i , j {displaystyle i,j} элемент p {displaystyle p} делит все слагаемые в этой сумме, за исключением a i b j , {displaystyle a_{i}b_{j},} который он не делит в силу своей простоты и факториальности R . {displaystyle R.} Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если f ( x ) , g ( x ) {displaystyle f(x),g(x)} примитивны, то их произведение f ( x ) g ( x ) {displaystyle f(x)g(x)} — тоже примитивный многочлен.

Пусть теперь f ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x ) {displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)} — факторизация в кольце Q [ x ] . {displaystyle Q[x].} Домножив каждый из f 1 ( x ) , f 2 ( x ) {displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)} на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что a f 1 ( x ) = h 1 ( x ) ∈ R [ x ] {displaystyle af_{1}(x)=h_{1}(x)in R[x]} и b f 2 ( x ) = h 2 ( x ) ∈ R [ x ] {displaystyle bf_{2}(x)=h_{2}(x)in R[x]} и a b f ( x ) = g 1 ( x ) g 2 ( x ) . {displaystyle abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).}

Каждый из простых делителей a b {displaystyle ab} делит все коэффициенты g 1 ( x ) g 2 ( x ) , {displaystyle g_{1}(x)g_{2}(x),} а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце R [ x ] . {displaystyle R[x].}